上面关于三角形的内角和定理的教学案例中，教学目标明确，教学重点突出，难点突破有方；例题、习题选取合理；教学方法灵活多变，但是又具有较强的针对性；能够运用现代化的教学手段。教师能够引导学生通过观察、操作，然后进行比较、猜想，再进行推理，最后还有交流等。这样一来，通过多种形式的活动，使学生有效地经历了数学知识的形成过程。板书工整醒目，作图正确美观。通过这一堂课，不但使学生理解了“三角形内角和等于180°”这一条定理，而且经历了定理的推理、论证过程，掌握了几何证明的基本思路和基本方法。尤其重要的是，领会了辅助线的作用和作辅助线的基本思路。

直线形的教学中，几何命题的证明是一个重点，也是一个难点。针对这一节课的教学设计，各位老师有什么意见和看法？

教学中要注意中小学的衔接。我注意到在学生回答“如何得到三角形的内角和为180°”这一结论时，有学生回答“小学时学过”，不过老师没有注意引导。这一内容在小学四年级的时候确实已经学过了。如果没有新知识的注入，那么学生将不会认真学习，影响教学效果。

实际上，就拿平面图形的知识来说，小学和初中在辨识基本图形问题上，翻来覆去都是那几个图形，都要认识线（直线、射线、线段）、角、三角形、四边形、圆等，只是知识点的侧重有所不同。

回到这一节课，对于与三角形有关的知识的学习，小学时只需要能够认识三角形，知道三角形按边分有等腰三角形、等边三角形，按角分有锐角三角形、直角三角形、钝角三角形；进一步，通过实际动手操作（如度量比较等）了解三角形两边之和大于第三边，了解三角形的内角和等于180°等一些与三角形相关的性质，而不需要给出严密的证明。这样一来，学生在小学阶段就已经知道了与三角形的边和角有关的两个非常重要的事实（即初中的所谓性质定理），到了初中，就要证明三角形两边之和大于第三边、三角形内角和等于180°等，还要讲等腰三角形的性质、判定和全等三角形等，这就又上升了一个层次，从“感性认识”上升到“理性认识”。这是我们今后教学一个非常重要的基本出发点。

初中数学的教学起着“承上启下”的作用。初中数学知识是在小学数学知识的基础上来进一步提升的，是小学数学知识的延伸和发展，也是以后进一步学习高中数学知识的基础。所以，初中数学教学起着承上启下的重要作用。与小学数学知识相比，初中数学知识更加强调了学生对数学基本概念的认知和理解，强调了学生对数学知识的灵活应用能力以及逻辑思维能力。教师只有准确地掌握和了解学生原有的知识结构，才能进一步了解学生的思维水平；只有掌握了新旧知识的联系，以及学生学习新知识时原有的基础知识是否够用，过渡性的目标与支持性的条件是什么等，才能正确选择应该用什么样的教学方法来完成初中数学的教学任务。

给学生一杯水，教师需要有一桶水。对三角形内角和为180°的结论的探讨，还有必要进行更多的研究。课堂上不一定都要展示出来，但是老师还是应该有所思考和总结。我觉得至少可以有以下几种：① 剪接法。前面学生已经讲过，即剪下两个角和第三个角拼接在一起成为一个平角，要注意拼接的方法。② 度量计算法。前面也讲过，不过测量的时候会有误差，计算结果不一定恒等于180°，这一点也可以跟学生讲明。③ 用折纸的方法验证三角形内角和定理：先将纸片三角形一角折向其对边，使顶点落在对边上，折线与对边平行（如下面的图①），然后把另外两角相向对折，使其顶点与已折角的顶点相嵌合（如图②、③），最后得到如图④所示的结果。④ 把一个正方形沿对角线折，折成两个完全一样的三角形，每个三角形正好是正方形的一半，所以三角形的内角和是180°。

证明三角形内角和定理的关键是作辅助线。如何把通过实验验证的结论进行理论上的证明，就需要在实验和理论之间建立一座桥梁。首先，实验验证的关键是“移角”，就是把一个角相等地从一个位置移到另一个位置，而证明的时候显然不能够“剪拼”，怎么办呢？马上可以引导学生考虑平行线的性质。其次，要移到什么地方才能够证明“和”为180°？马上可以引导学生考虑“平角”，更进一层，还可以联想到“两直线平行，同旁内角互补”，这样一来，辅助线的作法也就呼之欲出了，几种不同的证明方法也就产生了。

辅助线的作法确实是几何证明中的一个难点。这一节课上作辅助线的思路也为以后辅助线怎么作提供了一个思考方向。添加辅助线有常法（即常规思考途径），但毕竟具体添加辅助线时方法变化甚多，所以并无定法。而所谓的常规思考途径一是要知道我要干什么，如前述的“要移角”；二是要知道怎么做才能够达到目的，如证“180°”有“平角等于180°”和“两直线平行，同旁内角互补”等定理和定义做保证。这就要求学生对几何中的定义、公理、定理有比较全面的了解和掌握。老师在教学的时候也要有意识地进行引导。另外要注意的是，好的辅助线确实可以帮助解题甚至简化解题过程，但是，辅助线毕竟是起“辅助”作用，不要让学生养成不管什么题目都要作辅助线的习惯。其实大部分的几何证明题并不需要作辅助线。

学习知识是为了应用所学知识解决问题。这一节课重点在三角形内角和定理的证明。但是证明了定理的正确性以后，定理的应用也是一个重点。教师通过一个例题、三个练习进行提升，可以说基本上是到位了。但是我仍然有意犹未尽之感。是否可以再深入一层提出以下问题：① 每个三角形至少有几个锐角？为什么？② 在一个三角形中，能否不含直角？不含钝角？不含锐角？③ 如果直角三角形中有一个角是50°，能否求出其余的角？怎么求？④ 如果是钝角三角形，或锐角三角形有一个角是50°，那么能否求出其余两个角？为什么？

通过这几个问题，学生对三角形内角和定理的理解和应用应该可以提高一个层次。这也要求我们老师在备课的时候要多思考，不要只拘泥于教材，要多准备一些相关的知识、提高的知识、拓展的知识。这些内容在课堂上不一定要讲授，但是作为老师一定要有准备。

一节课的课堂小结是很重要的。一堂课最后的小结，可以突出重点，而且无其他不相干的知识进行干扰，小结的内容学生容易巩固，而且记忆深刻。

但是，在实际操作中，老师的课堂小结往往有较大的随意性，很多老师只是将本节课的教学内容进行简单的重复。可以说，这样的小结根本没有新颖性、简约性，更谈不上进一步的针对性和发展性，起不到梳理知识、承前启后的作用，更难实现画龙点睛、升华知识、发展学生智能的高层次要求。本节课的内容虽然不多，但是渗透的基本数学思想、数学方法却不少。而且，以前的章节（相交线、平行线等）没有过多涉及证明的书写，只是填写理由，而从这一个部分开始，要逐步过渡到模仿证明和写出推理步骤比较少的证明，后面的内容更加要求学生独立地证明几何命题。这就要求老师对证明的思路、方法进行指导，对证明的书写格式进行规范。所以，进行必要的小结就更加重要了。

一节课的教学不能够孤立看待，要关注后续教学。这节课的小结还算是中规中矩，基本上涵盖了本节课的重点，包括知识重点、方法重点、思维重点；也提到了辅助线的添加，但是，拓展延伸不够。首先是文字题的证明，这是学生感到比较困难的地方，教师应该着力于此，已知、求证的探讨寻求，图形的画法及作用都可以涉及；其次，后续的教学对证明的要求越来越高、越来越难，要尽量联系实际提出一些启发学生动脑筋思考的问题，题目不要太难，关键是要能够提高学生的兴趣。对课堂上及作业中发现的问题，也要及时加以解决，以免影响后面的学习。

活动说明：逻辑推理依赖于严谨的语言表达和正确的书面表达。因此，重视学生语言表达能力的培养，尤其是数学语言和几何语言的培养对学生逻辑推理能力的形成是重要的一环。对于初学几何演绎的学生来说，正确书写演绎推理的过程是一个难点，学生在推理中存在着各种各样的问题。本节课的主要目的就是纠正学生书写上的错误，规范几何推理的表达。

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点评：在几何语言的书写上，学生容易出现跳步、重复、逻辑不严密等问题。本课通过师生共同寻找几何书写中经常容易犯的错误，归纳总结，以此来巩固几何证明过程的正确书写能力，提升了学生的演绎推理能力。

活动说明：本课是一堂知识的应用型课，意在解决某一类典型的几何问题，以提升学生的数学能力。这节课的重点是促进学生数学解题经验的飞跃性增长。教师通过数学知识的内部联系，将看似无关的条件逐步转化为熟悉的模型，从而探索解决问题的最优方法。本课的教学主要是以等边三角形和等腰直角三角形为背景，通过旋转将题中分散的量进行集中，从而达到快速解题的目的。通过本课让学生充分经历一个方法探索及归纳总结题型特征和方法的使用条件的过程，最终培养学生更高的数学思维能力。

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点评：这堂课中，教师让学生充分感受到了“旋转”的本质以及在应用“旋转”来帮助解决问题的便捷性，也拓展了学生的思维，提高了他们分析和解决问题的能力。本堂课中，教师还向学生强调：在解决数学问题时，首先，一定要好好分析和重新配置题目中已知和潜在的条件，回忆原有知识和经验，使分散的条件相对集中，逐步找到解决问题的方法；其次，对题后的反思总结也非常重要，在千变万化的数学题中，同一类型的题总会存在一定的规律。教师要经常带领学生去发现和总结。

活动说明：动态几何问题对学生而言是一个难点，学生往往会感到无从下手。解决动态几何题的策略是：把握运动规律，寻求运动中的特殊位置；在“动”中求“静”，在“静”中探求“动”的一般规律。通过探索、归纳、猜想，获得图形在运动过程中是否保留或具有某种性质。教会学生如何分析动态问题，有助于培养学生的逻辑思维能力。为此，我设计了这一堂课的活动。

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点评：在近几年的数学中考题中，经常出现动态的问题。解决这类问题的一类有效方法是首先要分析在这个运动变化过程中，哪些是变化的，哪些是不变的，然后再去寻求“不变”中的“变”、“变”中的“不变”。就像这个教学片段中点D是在第一象限中变化的，而∠ADB满足45°是不变的，根据这个不变的量联想“同弧所对的圆周角相等”，从而发现点D的位置虽然改变，但却在一个特定的轨迹上运动，于是便能找到解决问题的策略。

几何推理论证是几何学习的重要内容，它对于培养学生的逻辑思维及逻辑推理能力有特殊的作用。正像数学家杨乐所讲：“除了几何，似乎很难找到别的东西来代替它对中学生进行严格的逻辑思维培养。”而且有很多学生就因为在几何的学习中感受到了图形的美妙和演绎的有趣而喜欢上了数学。

在几何教学中我们经常发现学生能听懂，但自己一做题就没了方向。因此，几何证明是教学中的一个难点，也是提高学生成绩的一大障碍。

总之，几何推理证明的分析和书写对学生而言是一个重要而又难以掌握的内容，需要教师较长时间的引导和帮助，才能逐步形成学生自己的技能。同时，学生必须在牢固掌握基础知识的基础上注意点滴的积累，学会善于归纳总结，熟悉常见的解题着眼点。我们并不提倡题海战术，但适量的典型习题还是必要的，只有量的积累才能达到质的飞跃。

逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题的思维过程。主要包括两类：一类是从特殊到一般的推理，推理形式主要有归纳、类比；一类是从一般到特殊的推理，推理形式主要有演绎。

逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式，是数学严谨性的基本保证，是人们在数学活动中进行交流的基本思维品质。直线形是培养学生逻辑推理的重要载体。

立意不高，许多教师的匠气太浓，“题型+技巧”的教学，弥漫着功利，缺少思想、精神的追求。提高课堂教学立意的关键是提高思想性——对数学的理解。具体做法上，教师要注意发挥“先行组织者”的功能，要加强思想方法的引导——构建研究数学问题的框架，以增强学生学习的自觉性、主动性，使学生的数学思考更有目的性、有序性和有效性，培养他们良好的数学思维习惯。

1. 《初中数学新课程教学法》，吕世虎、石永生，首都师范大学出版社，2012

推荐理由：本书为教师们探讨初中数学新课程的教学方法搭建了一个平台，帮助每位教师在自主探索中，吸纳有价值的教学方法，同时建构自己独有的“教学方法”，为新课程下初中数学教师的再学习提供学习、思考的素材。

2. 《新课程理念与初中数学课堂教学实施》，张明甡、关文信，首都师范大学出版社，2012

推荐理由：本书的鲜明特色是：课例、理念、策略，一个都不能少。书中的课例鲜活而富有内涵；理念阐述通俗易懂、深入浅出；行动策略具体详尽，可操作性强，是教师教学的好帮手。

1. 在培养学生的推理演绎能力方面，你有哪些策略？

2. 就下面两题，谈谈你的教学设计。