1. 通过教学实例的学习，掌握字母表示数的方法和途径。
2. 体会字母表示数的运用具有一般性和广泛性，感受代数的实质意义。
4 课时
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赵皎如，中学高级教师，杭州市优秀教师。
顿继安，北京教育学院数学系副教授。长期从事数学教育和教师教育基本问题的研究与教学工作，主持或参与多项国家级、市级科研课题，担任多个“国培计划”远程培训项目的中学数学学科首席专家，并任北京市中学数学市级骨干教师研修工作室负责人，承担多个市、区、校级数学教师培训项目的设计与实施工作。主编《新课程学科发展性评估——中学数学》和《金点 · 问题导学新课堂 初中系列：数学》，担任《中小学教师专业发展标准及指导 数学》副主编，在《数学教育学报》《数学通报》等期刊发表论文二十余篇。
代数式的教学是以小学数学的代数知识为基础，对小学数学知识进行延续和加深。“代数”是数学的基础，意义十分重大，它归纳了具体的数的计算等知识，用一个字母来表示想要表示的一切，有着普遍性的意义。
下面，我们通过一个具体的教学案例，来体会代数的归纳性。
（本案例由湖南省长沙市长郡双语实验中学贺认平老师提供）
这节课的内容是在学过正整数幂和零指数幂以及用科学计数法表示绝对值较大的数的基础上展开的。特别是正整数指数幂，我们已经学习了五条运算性质——同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、同底数幂的除法、商的乘方，其中对同底数幂的除法，要求被除式的指数要大于除式的指数。教学应该抓住这个条件展开探索，从约分和同底数幂的除法两个角度“殊途同归”地说明定义负整数指数幂的合理性，这样就在运算的需要之下，实现了指数的扩充。然后引导学生利用负指数幂以及零指数幂，通过验证的方式，针对以前学过的五条性质进行再探讨。
本节课主要是通过将指数扩充到全体整数的探索，重点培养学生抽象的数学思维能力；合理运用公式进行有关计算，培养学生的计算能力以及综合分析问题的能力。但本节课在开展丰富多样的教学活动、调动学生积极性方面还有待改进。如教师可以将学生分成四人小组，让他们进行自主探索、合作交流。教师再深入学生的探索活动之中，并多关注学困生，用激励的语言鼓励他们，使学生乐于探索，不断面对认知冲突并得到突破，从而品尝到探索成功的喜悦。
高效课堂的探索实践应该贯穿于教学过程的始终。教师最好通过每一组学生力所能及的练习，激活学生对正整数指数幂以及零指数幂意义的知识与技能储备，帮助学生努力提取必需的经验和备用知识，然后通过类比开展对负整数指数幂的探究。课堂的有效性是当下教学的关注点。一堂高效的课，不仅要让学生获得知识与技能，更多的是要唤醒学生的学习动机、助其养成学习习惯和提升其思维品质。
本节课教学的主要内容是整数指数幂，整数指数是在学生学习了分式的基本性质及乘除法之后学习的，教材中利用分式除法的意义及同底数幂相除的性质给出负指数及零指数的意义。教学中，教师在复习幂的有关运算性质后提出问题：幂的这些运算性质中指数都要求是正整数，如果是负数又表示什么意义呢？继而通过让学生练习的方式寻找规律，猜想出零指数幂和负整数幂的意义，并加深他们对新知识的理解，调动了他们学习的积极性，基本达到了预期的效果。
但本节课将学生容易弄混的五条性质混淆，导致指数幂的范围扩大。这样单独做学生还可以过关，一旦进行混合运算，学生就基本上搞不清楚是哪一条了。本节课教学是在以前所学的正整数指数幂、零整数指数幂的基础上进行扩充的，主要内容是负整数指数幂的意义及运算。所以，课堂上应先让学生复习乘方的意义及正整数指数幂运算的性质，然后采用从一般到特殊的方法合作探究负整数指数幂，引导学生讨论出运算性质，进而也能推广到整数指数幂。这样才能重点挖掘学生的潜在能力，让学生在课堂上通过观察、验证、探究等活动，加深对新知识的理解。
另外，这节课比较适合学生小组自主学习，但问题聚焦中教师讲得还是多了点，时间上也没有很好地把握。总之，课堂还是要放手让给学生。对于学生遇到的困难，教师要合理引导，帮助学生寻找解题思路，这样对学生的思维培养大有好处。
活动说明：同底数幂的乘法是整式乘法的基础，是对学生熟知的乘法运算的进一步提升，也是科学记数法的一般化推广形式。就知识点本身而言，属于基础性问题。但鉴于形式相近性，学生很容易与幂的乘方、合并同类项等运算发生认知混淆。为了更好地控制前摄抑制和后摄抑制的消极影响，我安排了这样的活动。
活动说明：三个系数定“乾坤”，一元二次方程
的根是由一元二次方程的系数a，b，c确定的，只要明确了三个系数，其根就能清晰地表达出来，与原方程选用什么作未知数没有关系，也就是说原来的未知元x可以改成y，z等。这种抽象性折射出的是数学的简洁之美、抽象之美。因此在学习一元二次方程解法时，我安排了这样的活动。
代数是研究数、数量关系与结构的数学分支。代数的研究对象不仅是数字，还是抽象化的结构。在古代，当算术里积累了大量的，关于各种数量问题的解法后，为了寻求有系统的、更普遍的方法，以解决各种数量关系的问题，就产生了以解方程的原理为中心问题的初等代数，即中学数学中学习的代数。
综上所述，初中代数的优越性就是出现了字母，有了字母就可以表示出一般规律或算法，就可能设未知量后利用方程解决复杂情境问题，就有机会探索一些解决问题的一般方法。
波利亚说，数学有两个侧面，它是欧几里德式的严谨科学，但它也有别的什么东西，用欧几里德方式提出来的数学看起来像是一门系统的演绎科学，但在创造过程中的数学看起来却像是一门实验性的归纳科学。在初中数学数与式的知识形成过程中，无论是有理数的加法法则，还是根式的运算性质，归纳也都具有非常重要的作用。
初中数学“数与式”的核心知识是运算，这些运算是以小学所学的非负有理数的运算为根基拓展而成的。其中，新的数系中新数的运算法则是原有数的运算法则的自然延伸，而代数式运算法则的本质是对数的运算规律用符号表示。因此，对规律的认识是前提，而规律的获得，离不开归纳法。归纳，作为从特殊到一般、从具体到抽象的认识事物的过程，也符合人的认知规律。因此，在数与式的教学中，要重视归纳法的运用。
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用字母表示数是学生由小学进入初中的一个知识难点，数字运算比较客观，而字母运算比较抽象，这也是学生能力提升的一个重要方面。在数与式的教学中要注意让学生形成数感、符号感，通过运算律、列代数式、整式分式的运算让学生的数感、符号感一步步加强。用字母表示数以后，更能反映数学的规律，对于今后数学模型的建立和理解，对于数学规律的推导，对于学生推理能力的提高都是大有帮助的。
——具体内容请详见《直击新课程学科教学疑难 初中数学》（邓智刚等，教育科学出版社，2015年版，第52页） |
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《提分攻略系列·疑难与规律详解：初中数学数与式》，李俊海，广西师范大学出版社，2012
推荐理由：本书的特色是，对于初中数学数与式知识上的疑难，由表及里地进行深刻解读；对于解答数与式相关问题的规律和方法，由典型到类型地进行全面透视。它既可以作为教师教学的参考书，也可以作为学生的课外读本，相信会给教师教学带来启发。
1. 请举出一个利用字母代替数来探究解题方法的例子，并谈谈字母在探究中的具体作用。
2. 有这样的两位数，交换该数的十位数和个位数所得到的两位数与原数的和是一个完全平方数。如，29就是这样的两位数，29+92=121=
。请你找出所有这样的两位数。
请根据所提供的问题，设计合理的教学环节，体现出代数的优越性。